പ്ലസ് 2ക്കാരിയുടെ ചോദ്യമാണ്. കക്ഷി രണ്ടു ദിവസമായി മെട്രിക്സുകളോട് മല്ലു യുദ്ധത്തിലാണ്. മെട്രിക്സുകളെ കൂട്ടുന്നു കുറക്കുന്നു തിരിച്ചും മറിച്ചുമിട്ട് ഗുണിക്കുന്നു. അതൊന്നും വലിയ കുഴപ്പമില്ല.പക്ഷെ മെട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് എത്തിയപ്പോൾ കുടുങ്ങി. അങ്ങോട്ടുമിങ്ങോട്ടും സംഖ്യകൾ തമ്മിൽ ഗുണിക്കും കൂട്ടും കറക്കും കാര്യമെന്താണെന്ന് മാത്രം അറിയില്ല. ടീച്ചർ 4 X 4 മെട്രിക്സ് ഒക്കെ ഹോം വർക്ക് കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്. പക്ഷെ എന്തിനാണി ഡിറ്റർമിനന്റ് കണ്ടു പിടിക്കുന്നത് എന്നു മാത്രം പറഞ്ഞില്ല. എൻജിനിയറിംഗ് യജ്ഞം മുക്കാൽ പങ്കും പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷക്കാരന്റെയടുത്ത് സംശയമെത്തി. അവിടെയും രക്ഷയില്ല. അങ്ങനെയാണ് ഇന്നലെ കുടുംബസദസിൽ ഡിറ്റർമിനന്റ് കടന്നുവന്നത്.

ഞാൻ ചെറിയ ഒരു മൈതാന പ്രസംഗം കാച്ചി. അതേകദേശം ഇങ്ങനെയാണ്. ഗണിതം ഭൂഗോളത്തിന്റെ സ്പന്ദനമാണെന്ന് സ്പടികം സിനിമയിൽ ചാക്കോ മാഷ് പറയുന്നുണ്ട്. പക്ഷെ നമ്മൾ സ്കൂളിലും കോളേജിലും ഗണിതം പഠിപ്പിക്കുന്ന രീതിക്ക് എന്തോ കുഴപ്പമുണ്ട്. കുട്ടികൾ യാത്രകമായി കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യും. ഒരു ഗണിത രീതി കൊണ്ട് എന്താണ് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതെന്ന് പഠിക്കാറില്ല. പഠിപ്പിക്കാറും. ഗണിതം ലോകത്തിന്റെ സ്പന്ദനം തന്നെയാണ് ,കാര്യം മനസ്സിലാക്കിയാൽ.ഇല്ലെങ്കിൽ കുട്ടികൾ കണക്ക് വെറുക്കും അഭിനവ ചാക്കോ മാഷ് മാർ കോപിക്കരുത്. ഇത് ഒരു സത്യമാണ്.

പ്രസംഗം കഴിഞ്ഞ സ്ഥിതിക്ക് കാര്യത്തിലേക്ക് കടക്കാം. ശരിക്കും എന്താണി ഡിറ്റർമിനന്റ്(determinant)? ആദ്യം നമുക്ക് ചെറിയ ഒരു മെട്രിക്സ് എടുത്ത് അതിൽ നിന്ന് ഡിറ്റർമിനന്റ് കണ്ടു പിടിക്കാൻ ചാക്കോ സാർ പറഞ്ഞു തന്ന വഴി എന്താണെന്ന് നോക്കാം.

ചിത്രം ഒന്നിൽ ഒരു 2x 2 മെട്രിക് സ് കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇതിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ്det A= (ad -bc) യാണ്. വലിയ മെട്രിക് സുകൾക്ക് കുറേക്കൂടി വലിയ ഒരു ഫോർമുല ഉണ്ട്. ഇത് കാണാതെ പഠിച്ച് പരീക്ഷയെഴുതുകയാണ് പിള്ളേർ ചെയ്യുന്നത് .

ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ പുറകിലുള്ള ആശയം മനസ്സിലാക്കുന്നതിന് ചിത്രം രണ്ട് പരിഗണിക്കുക. നമ്മുടെ മെട്രിക്സിലെ രണ്ടു നിരകളെ കാർട്ടിഷ്യൻ പ്രതലത്തിലുള്ള രണ്ട് ബിന്ദുക്കളായി ഈ ചിത്രത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. O എന്ന് കാണിച്ചിരിക്കുന്നതാണ് പ്രതലത്തിന്റെ ഒറിജിൻ (0, 0).(a b), (c d) എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലേക്ക് ഒറിജിനിൽ നിന്ന് രണ്ട് വരകൾ ചിത്രം മുന്നിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതു പോലെ വരക്കാം ഇങ്ങനെ വരച്ച വരകളെ നമ്മുക്ക് ഒരു വെക്ടർ എന്ന് വിളിക്കാം. നമ്മുടെ പ്രതലത്തിലേ ഓരോ ബിന്ദുവിലേക്കും ഒരു വെക്ടർ വരക്കാൻ സാധിക്കും. ഓരോവെക്ടറിനും നീളവും ദിശയുമുണ്ട്.

ഇനി ചിത്രം 3 ലേതുപോലെ നമ്മൾ വരച്ച വെക്ടറുകളുടെ അഗ്രത്തിൽ നിന്ന് ഒരു പാരലോഗ്രാം വരക്കുക. നമ്മൾ അന്യോഷിച്ചു കൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഡിറ്റർമിനന്റ് ഈ പാരലോഗ്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണമാണ്.

ചുരുക്കത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ നമ്മുടെ 2 X 2 മെട്രിക്സിന്റെ നിര വെക്ടറുകൾ അടുത്തടുത്ത വശങ്ങളായി വരുന്ന ഒരു പാരലോഗ്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണമാണ് ഡിറ്റർമിന്റ്. ഈ ആശയത്തെ നമുക്ക് വലിയ മെട്രിക് സുകളുടെ കാര്യത്തിലും വിപുലപ്പെടുത്തി ഉപയോഗിക്കാം.

അതിനു മുൻപ് നമുക്ക് മേൽ പ്രസ്താവന ശരിയാണെന്നതിന് തെളിവ് വേണം. തെളിവില്ലാത്ത കാര്യങ്ങൾ വെറും ഊഹാപോഹങ്ങളല്ലെ. തെളിവ് ഉണ്ടാക്കുന്നതിന് ചിത്രം 4ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതു പോലെ പാരലോഗ്രത്തിന് ചുറ്റും ഒരു ദീർ ഘചതുരം വരക്കുക.ഈ ച തുരത്തിന്റെ ഒരു മൂല ഒറിജിനും മറ്റേ മൂല ( a + c, b+d) എന്ന ബിന്ദുവുമാണ്. മറ്റ് മൂലകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളും ചിത്രത്തിൽ ഉണ്ട്. ഇത് കണ്ടു പിടിച്ച വിധം പിടികിട്ടാത്തവർ ജോമട്രി ക്ലാസിൽ ഒന്നു കൂടിയിരിക്കണം. തുടർന്ന് വായിക്കണമെന്നുമില്ല. എൻജിനിയറിംഗ് വിദ്യർത്ഥിയാണെങ്കിൽ വേറെ ഏതെങ്കിലും കോഴ്സ് ചെയ്യുന്നതിനേക്കുറിച്ച് ഗൗരവമായി ആലോചിക്കണം.

ഡിറ്റർമിനന്റ് പരലോഗ്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണമാണെന്നാണല്ലൊ നേരത്തെ പറഞ്ഞത്. ഈ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടു പിടിക്കാൻ ചിത്രം 4 ലെ ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണത്തിൽ നിന്ന് പാരലോഗ്രാം ഒഴികെയുള്ള ഭാഗത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കുറച്ചാൽ മതി ചിത്രം 5 ൽ ഇങ്ങനെ കുറക്കേണ്ട ഭാഗം അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. അടയാളപ്പെടുത്തിയ ഭാഗങ്ങളെ നമുക്ക് ചതുരങ്ങളായും ത്രികോണങ്ങളായും തിരിക്കാം. ചിത്രം ആറ് നോക്കിയാൽ ഇത് രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത് കാണാം. പാരലോഗ്രത്തിന്റെ മുകളിലുള്ള ഭാഗവും താഴെയുള്ള ഭാഗവും ഒരേ വിസ്തീർണമുള്ളവയാണെന്ന് കാണാം. ഓരോ ഭാഗത്തും ഒരു ചതുരവും രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുമുണ്ട്.ഇവയുടെ വിസ്തീർണ്ണം വളരെ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താം. ഇവയുടെ നീളവും വീതിയും ചിത്രം 6 ലുണ്ട്.

പാരലോഗ്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം – ബാക്കി ഭാഗത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

ഇത് താഴെക്കാണുന്ന വിധത്തിൽ എഴുതാം. സഹായത്തിനു ചിത്രം 6 നോക്കുക

പാരലോഗ്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = (a+c)( b+d) – 2*a *d – 2 * (1/2)(c*d) – 2*(1/2) (a*b)

ഇതിനെ expand ചെയ്‌തെൽ നമുക്ക് (ad -bc ) എന്ന് കിട്ടും ഇപ്പോൾ പരലോഗ്ര ത്തി ന്റെ വിസ്തീർണമാണെന്ന് determinant എന്ന് തെളിഞ്ഞില്ലെ?

ഇനി ഒരു 3 x 3 മെട്രിക്സിന്റെ കാര്യം നോക്കാം.ഇതിനായി 3 ഡൈമെൻഷനുള്ള ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുക. മെട്രിക് സിന്റെ ഓരോ നിരയും ഈ സ്പേസിലെ ഓരോ ബിന്ദുക്കളാണ്. മുൻപത്തേ പോലെ ഒറിജിനൽ നിന്ന് ഈ പോയിന്റ് കളിലേക്ക് വെക്ടറുകളെ വരക്കാനാകും. തുടർന്ന് ഈ വെക്ടറുകൾ അടുത്തടുത്ത് വരത്തക്ക രീതിയിൽ ഒരു ത്രിമാന രൂപം നിർമിക്കാനാകും. ചിത്രം 7 ൽ ഇത് കാണിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ രുപത്തെ പാരലോെപൈപിഡ് എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത്. ഈ പാരലോപൈപ്പി ഡിന്റെ വ്യാപ്തമാണ് 3 X 3 മെട്രിക് സിന്റ ഡിറ്റർമിനന്റ്.

ഇതിലും വലിപ്പമുള്ള മെട്രിക് സുകളുണ്ടല്ലോ. അവയുടെ ഡിറ്റർമാന്റ് എന്താണ്. നമുക്ക് മൂന്ന് ഡൈമെൻഷനുകളേ കാണാൻ കഴിയും. പക്ഷെ കൂടുതൽ ഡൈമെൻഷൻ ഉള്ള സ്പേസുകളെ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞർ നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ട്. മെട്രിക്സ് തിയറി /ലിനിയർ ഒൾജിബ്രാ n ഡൈമെൻഷനൽ സ്പേ സുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ്. അതു കൊണ്ട് മേൽ പറഞ്ഞ ആശയം കൂടുതൽ വലിപ്പമുള്ള മെട്രിക് സുകളിലേക്ക് വിപുലികരിക്കാം. പക്ഷെ നമുക്ക് പടം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കാനാവില്ല എന്നു മാത്രം. സംഗതി അബ്സ്ട്രാക്ട് ആണ്. 😀 എൻജിനിയറിംഗിലും മറ്റ് ശാസ്ത്ര വിഷയങ്ങളിലും ധാരാളം ഉപയോഗമുള്ള ഗണിതശാഖയാണിത്. കൂടുതൽ അറിയാൻ താൽപര്യമുള്ളവർക്ക് MIT പ്രൊഫസറായ ഗിൽബർട്ട് സ്ട്രാങ്ങിന്റെ വിഡിയോ കാണാം.

ആശയങ്ങൾ വ്യക്തമായി മനസിലാക്കി പഠിച്ചാൽ ഗണിതം ഭൂലോകത്തിന്റെ സ്പന്ദനവുമാണെന്ന് ചാക്കോ മാഷിന് മത്രമല്ല നമുക്കും ബോധ്യമാകും.

Reference : https://ocw.mit.edu/faculty/gilbert-strang/